Introduction à la fonction Bessel

Les fonctions de Bessel, également connues sous le nom de fonctions cylindriques telles que définies par le mathématicien Daniel Bernoulli puis généralisées par Friedrich Bessel sont les solutions de l'équation différentielle de Bessel de second ordre connue sous le nom d'équation de Bessel. Les solutions de ces équations peuvent être du premier et du deuxième type.

x^2y"+xy'+(x^2-n^2) y=0

Lorsque la méthode de séparation des variables est appliquée aux équations de Laplace ou résolvant les équations de propagation de chaleur et d'ondes, elles conduisent à des équations différentielles de Bessel. MATLAB fournit cette fonction complexe et avancée de «vaisseau» et la lettre suivie par mot-clé décide du premier, deuxième et troisième type de fonction de Bessel.

Types de fonction Bessel dans MATLAB

La solution générale de l'équation différentielle de Bessel a deux solutions linéairement dépendantes:

Y= A Jν(x)+B Yν(x)

1. Fonction Bessel de premier type

Bessel Fonction du premier type, Jν (x) est finie à x = 0 pour toutes les valeurs réelles de v. Dans MATLAB, elle est représentée par le mot-clé besselj et suit la syntaxe suivante:

  • Y = besselj (nu, z): Cela renvoie la fonction de Bessel du premier type pour chaque élément du tableau Z.
  • Y = besselj (nu, Z, échelle) : spécifie s'il faut mettre à l'échelle la fonction de Bessel de façon exponentielle. La valeur d'échelle peut être 0 ou 1, si elle est 0, aucune mise à l'échelle n'est requise et si la valeur est 1, nous devons mettre à l'échelle la sortie.
  • Les arguments d'entrée sont nu et z, où nu est l'ordre d'équation spécifié comme vecteur, matrice, etc. et c'est un nombre réel. Z peut être un tableau vectoriel, scalaire ou multidimensionnel. Nu et z doivent être de la même taille ou l'un d'eux est scalaire.

2. Fonction de Bessel de deuxième type (Yν (x))

Elle est également connue sous le nom de fonction Weber ou Neumann qui est singulière à x = 0. Dans MATLAB, il est représenté par un mot clé bessely et suit la syntaxe ci-dessous:

  • Y = bessely (nu, Z): Ceci calcule la fonction de Bessel du deuxième type Yν (x) pour chaque élément du tableau Z.
  • Y = bessely (nu, Z, échelle) : Ceci spécifie s'il faut mettre à l'échelle la fonction de Bessel de façon exponentielle. La valeur d'échelle peut être 0 ou 1, si elle est 0, aucune mise à l'échelle n'est requise et si la valeur est 1, nous devons mettre à l'échelle la sortie.
  • Les arguments d'entrée sont nu et z, où nu est l'ordre d'équation spécifié comme vecteur, matrice, etc. et c'est un nombre réel. Z peut être un tableau vectoriel, scalaire ou multidimensionnel. Nu et z doivent être de la même taille ou l'un d'eux est scalaire.

3. Fonction Bessel du troisième type

Il est représenté par le mot clé besselh et suit la syntaxe ci-dessous:

  • H = besselh (nu, Z) : Ceci calcule la fonction de Hankel pour chaque élément du tableau Z
  • H = besselh (nu, K, Z ): Ceci calcule la fonction Hankel du premier ou du deuxième type pour chaque élément du tableau Z où K peut être 1 ou 2. Si K est 1 alors il calcule la fonction de Bessel du premier type et si K est 2, il calcule la fonction de Bessel du second type.
  • H = besselh (nu, K, Z, échelle ): spécifie s'il faut mettre à l'échelle la fonction de Bessel de façon exponentielle. La valeur d'échelle peut être 0 ou 1, si elle est 0, aucune mise à l'échelle n'est requise et si la valeur est 1, nous devons mettre à l'échelle la sortie en fonction de la valeur de K.

Fonctions Bessel modifiées

1. Fonction Bessel modifiée du premier type

Il est représenté par le mot-clé besseli et suit la syntaxe ci-dessous:

  • I = besseli (nu, Z): Ceci calcule la fonction de Bessel modifiée de premier type I ν ( z ) pour chaque élément du tableau Z.
  • I = besseli (nu, Z, échelle): spécifie s'il faut mettre à l'échelle la fonction de Bessel de façon exponentielle. Si l'échelle est 0, aucune mise à l'échelle n'est requise et si l'échelle est 1, la sortie doit être mise à l'échelle.
  • Les arguments d'entrée sont nu et z, où nu est l'ordre d'équation spécifié comme vecteur, matrice, etc. et c'est un nombre réel. Z peut être un tableau vectoriel, scalaire ou multidimensionnel. Nu et z doivent être de la même taille ou l'un d'eux est scalaire.

2. Fonction Bessel modifiée du deuxième type

Il est représenté par le mot clé besselk et suit la syntaxe ci-dessous:

  • K = besselk (nu, Z): Ceci calcule la fonction de Bessel modifiée de deuxième type K ν (z) pour chaque élément du tableau Z.
  • K = besselk (nu, Z, échelle): spécifie s'il faut mettre à l'échelle la fonction de Bessel de façon exponentielle. Si l'échelle est 0, aucune mise à l'échelle n'est requise et l'échelle est 1, la sortie doit être mise à l'échelle.
  • Les arguments d'entrée sont nu et z, où nu est l'ordre d'équation spécifié comme vecteur, matrice, etc. et c'est un nombre réel. Z peut être un tableau vectoriel, scalaire ou multidimensionnel. Nu et z doivent être de la même taille ou l'un d'eux est scalaire.

Applications de la fonction Bessel

Voici les différentes applications de la fonction Bessel:

  • Electronique et traitement du signal : le filtre de Bessel est utilisé et suit la fonction de Bessel pour conserver un signal en forme d'onde dans la bande passante. Ceci est principalement utilisé dans les systèmes de croisement audio. Il est également utilisé dans la synthèse FM (modulation de fréquence) pour expliquer la distribution harmonique d'un signal sinusoïdal modulé par un autre signal sinusoïdal. La fenêtre Kaiser qui suit la fonction Bessel peut être utilisée dans le traitement numérique du signal.
  • Acoustique : Il est utilisé pour expliquer les différents modes de vibration dans différentes membranes acoustiques telles qu'un tambour.
  • Il explique la solution de l'équation de Schrödinger en coordonnées sphériques et cylindriques pour une particule libre.
  • Il explique la dynamique des corps flottants.
  • Conduction de chaleur: les équations de flux de chaleur et de conduction de chaleur dans un cylindre infini creux peuvent être générées à partir de l'équation différentielle de Bessel.

Conclusion

Il existe de nombreuses autres applications qui utilisent les fonctions de Bessel comme la conception de microphone, la conception de smartphone, etc. Donc, choisir le bon système de coordonnées est nécessaire et si nous traitons des problèmes impliquant des coordonnées cylindriques ou sphériques, la fonction de Bessel apparaît naturellement.

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