Formule de produits croisés vectoriels (Table des matières)
- Formule
- Exemples
Qu'est-ce que la formule de produit vectoriel croisé?
En algèbre vectorielle et en mathématiques, le terme «produit vectoriel croisé» fait référence aux opérations binaires entre vecteurs dans la géométrie tridimensionnelle. Le produit croisé est signifié par un signe croisé «x» entre les deux vecteurs et l'opération de produit croisé donne un autre vecteur qui est perpendiculaire au plan contenant les deux vecteurs initiaux. La formule du produit vectoriel croisé peut être dérivée en multipliant les valeurs absolues des deux vecteurs et le sinus de l'angle entre les deux vecteurs. Mathématiquement, supposons que un et b sont deux vecteurs, tels que a = a 1 i + a 2 j + a 3 k et b = b 1 i + b 2 j + b 3 k, alors le produit vectoriel croisé est représenté par,
ax b = |a| |b| sinθ n
où θ = angle entre un et b
| a | = √ (a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 )
| b | = √ (b 1 2 + b 2 2 + b 3 2 )
n = vecteur unitaire perpendiculaire aux deux un et b
En outre, le produit vectoriel croisé peut également être étendu en ses composantes vectorielles tridimensionnelles, c'est-à-dire i, j et k, qui sont toutes perpendiculaires les unes aux autres. La formule du produit vectoriel croisé est représentée comme suit:
ax b = i (a 2 b 3 – a 3 b 2 ) + j (a 3 b 1 – a 1 b 3 ) + k (a 1 b 2 – a 2 b 1 )
Exemples de formule de produit vectoriel croisé (avec modèle Excel)
Prenons un exemple pour mieux comprendre le calcul du produit vectoriel croisé.
Vous pouvez télécharger ce modèle Excel de formule de produit vectoriel croisé ici - Modèle Excel de formule de produit vectoriel croiséFormule de produit croisé vectoriel - Exemple # 1
Prenons l'exemple de deux vecteurs un et b tel que leur amplitude scalaire soit | a | = 5 et | b | = 3, tandis que l'angle entre les deux vecteurs est de 30 degrés. Calculez le produit vectoriel croisé des deux vecteurs.
Solution:
Le produit vectoriel croisé des deux vecteurs est calculé à l'aide de la formule ci-dessous
hache b = | a | | b | sinθ n
- hache b = 5 * 3 * sin30 n
- hache b = 7, 5 n
Par conséquent, le produit vectoriel croisé des deux vecteurs est 7, 5.
Formule de produits croisés vectoriels - Exemple 2
Prenons l'exemple de deux vecteurs a (4, 2, -5) et b (2, -3, 7) de telle sorte que a = 4i + 2j - 5k et b = 2i - 3j + 7k. Calculez le produit vectoriel croisé des deux vecteurs.
Solution:
Le produit vectoriel croisé des deux vecteurs est calculé à l'aide de la formule ci-dessous
hache b = i (a 2 b 3 - a 3 b 2 ) + j (a 3 b 1 - a 1 b 3 ) + k (a 1 b 2 - a 2 b 1 )
- hache b = i (2 * 7 - (-5) * (-3)) + j ((-5) * 2 - 4 * 7) + k (4 * (-3) - 2 * 2)
- hache b = -i + ( - 38 j ) + ( - 16 k )
Par conséquent, le produit vectoriel croisé des deux vecteurs (4, 2, -5) et (2, -3, 7) est (-1, -38, -16).
Formule de produit vectoriel croisé - Exemple # 3
Prenons l'exemple d'un parallélogramme dont les côtés adjacents sont définis par les deux vecteurs a (6, 3, 1) et b (3, -1, 5) tel que a = 6i + 3j + 1k et b = 3i - 1j + 5k. Calculez l'aire du parallélogramme.
Solution:
Maintenant, le produit vectoriel croisé des deux vecteurs peut être calculé en utilisant la formule ci-dessus comme,
hache b = i (a 2 b 3 - a 3 b 2 ) + j (a 3 b 1 - a 1 b 3 ) + k (a 1 b 2 - a 2 b 1 )
- hache b = i (3 * 5 - 1 * (-1)) + j (1 * 3 - 6 * 5) + k (6 * (-1) - 3 * 3)
- hache b = 16 i + ( - 27 j ) + ( - 15 k )
Maintenant, l'aire du parallélogramme peut être dérivée en calculant la magnitude du produit vectoriel croisé comme,
- | hache b | = √ ((16) 2 + (-27) 2 + (-15) 2 )
- | hache b | = 34, 79
Par conséquent, l'aire du parallélogramme est de 34, 79.
Explication
La formule du produit vectoriel croisé peut être dérivée en utilisant les étapes suivantes:
Étape 1: Tout d'abord, déterminez le premier vecteur a et ses composantes vectorielles.
Étape 2: Ensuite, déterminez le deuxième vecteur b et ses composantes vectorielles.
Étape 3: Ensuite, déterminez l'angle entre le plan des deux vecteurs, qui est noté θ .
Étape 4: Enfin, la formule du vecteur produit croisé entre les vecteurs un et b peut être dérivé en multipliant les valeurs absolues de la un et b qui est ensuite multiplié par le sinus de l'angle (étape 3) entre les deux vecteurs comme illustré ci-dessous.
hache b = | a | | b | sinθ n
Pertinence et utilisations de la formule de produit vectoriel croisé
Le concept de produit vectoriel croisé a diverses applications dans les domaines de l'ingénierie, des mathématiques, de la géométrie informatique, de la physique, de la programmation informatique, etc. Le concept sous-jacent nous aide à déterminer non seulement l'ampleur de la composante scalaire du produit de deux vecteurs, mais également il fournit également la direction de la résultante. En outre, il est également utilisé pour déterminer l'angle entre les plans des deux vecteurs. Le concept et les applications des produits vectoriels croisés peuvent être très complexes et intéressants.
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Ceci est un guide de la formule de produit vectoriel croisé. Ici, nous discutons de la façon de calculer la formule de produit vectoriel croisé avec des exemples pratiques et un modèle Excel téléchargeable. Vous pouvez également consulter les articles suivants pour en savoir plus -
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